TUTORIAL DE DIVISIÓN SINTÉTICA

http://www.youtube.com/watch?v=hdL2V4nSp58&feature=youtu.be

RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN.-

Es una relación donde a cada valor del primer conjunto, le corresponde un sólo valor del segundo conjunto.

Dada una relación f: A ---> B, esta relación es función si y sólo si cada elemento da A tiene imagen única en B. En símbolos:

                                           {Dom f = A}

(F: A ---> B función) <---> {f(x) = y ^ f(x) = z ---> y = z}

También podemos representar una función como y= f(x), que se lee "f en x" o "f de x".

Ejemplos:

1) f(-1)

2) f(4)

3) f(3a)

4) f(b-5)

5) f(x+h) - f(x)

6) f(0)

7) f(t-2)

8) f(-3)

9) f(2π)

10) f(x-8)

11) f(c)

12) f(t+b)

13) f(n+4)2

14) f(b)

15) f(2x)

16) f(x+1)

17) f(4)

18) f(2x² + x -3)

19) f(s)

20) f(g + k)

Criterio de la Recta Vertical.-

Existe una regla geométrica que nos permite saber si una gráfica es una función o simplemente una relación, este criterio se llama Criterio de la Recta Vertical, que dice:

"Una curva es la gráfica de una función sí y sólo si al trazar rectas verticales sobre ella, ninguna de ellas la intercepta en más de un sólo punto a la vez".

Operaciones con funciones.-

Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir.

Suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x)

Resta: f(x) - g(x) = (f - g)(x)

Multiplicación: f(x) . g(x) = (f . g)(x)

División: f(x) / g(x) = (f / g)(x)

El dominio de la nueva función resultante, es el conjunto de valores para los cuales está definida la función.

Ejemplos.- 

° Si f(x) = 2x + 1 y h(x) = |x| entonces:

(h + f)(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1

(h + f)(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2(2) + 1 = 7

° Si f(x) = 2x + 1, g (x) = x² entonces:

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = 2x + 1 - x² = 1 + 2x - x²

(f - g)(-1) = f(-1) = 2(-1) +1 - (-1)² = -2 + 1 -1 = -2

° Si g(x) = x² y h(x) = x -2 entonces:

(h . g)(x) = h (x) . g(x) = (x -2) x² = x =x3 - 2x^{2
(h . g)(5) = h(5) . g(5) = (5 - 2)(5)^2 = 3 (25) = 75}

° Si f(x) = 2x + 1, g(x) = x²  entonces:

   

° Si f(x) = 3x - 1 y g(x) = x + 5 entonces: 

f ° g (x) = f (g (x)) = f (x + 5) = 3(x + 5) - 1 = 3x + 15 + 1 = 3x + 16

° Si g(x) = x + 5 y f(x) = 3x - 1 entonces:

g ° f (x) = g(f (x)) = g(3x - 1) = 3x - 1 + 5 = 3x + 4

° Si f(x) = x² + 4x + 4, f(2) entonces:

f (2) = 2² + 4 (2) + 4 = 16

° Si f(x) = x² + 4x + 4, f (-1) entonces:

f (-1) = (-1)² + 4 (-1) + 4 = 1

° Si f(x) = x² + 4x + 4, f (3a) entonces:

f (3a) = (3a)² + 4(3a) + 4

f (3a) = 9a² + 12a + 4

° Si f(x) = x² + 4x + 4, f (b - 3) entonces:

f (b - 3) = (b -3)² + 4(b -3) + 4

f (b - 3) = b² - 6b + 9 + 4b - 12 + 4

f (b - 3) = b² - 2b + 1

° Si f (x) = 3x³ + 5x - 2, f (1) entonces:

f (1) = 3(1)³ + 5(1) - 2 

f (1) = 3 + 5 - 2 = 6

° Si f (x) = 3x³ + 5x - 2, f (-2) entonces: 

f (-2) = 3(-2)³ + 5(-2) - 2

f (-2) = -24 - 10 -2 = -36

° Si f (x) = 3x³ + 5x - 2, f (8) entonces:

f (8) = 3(8)³ + 5(8) - 2

f (8) = 1536 + 40 - 2 = 1574

° Si f (t) = (t - 2)² , f (0) entonces: 

f (t) =  (0 - 2)² = 4

° Si f (t) = (t - 2)² , f (-1) entonces:

f (t) =  (-1 - 2)² = 9

° Si f (t) = (t - 2)² , f (1) entonces:

f (t) = (1 - 2)² = 1

° Si f (c) = 1 + c² , f (-3) entonces:

f (c) = 1 + (-3)² = 10

° Si f (c) = 1 + c², f (0) entonces:

f (c) = 1 + (0)² = 1

° Si f (c) = 1 + c², f (2) entonces:

f (c) = 1 + (2)² = 5

° Si f (s) = 7x + 8, f (4) entonces:

f (s) =7 (4) + 8 = 36

Clasificación de funciones.-

Podemos clasificar las funciones de acuerdo a la forma de la ecuación que la representa, por su gráfica y por su dominio y rango.

Por su gráfica puede clasificarse en Continuas y Discontinuas:

-Funciones Continuas y Discontinuas.-

Las funciones continuas son aquellas cuyas gráficas se pueden trazar sin despegar el lápiz de la hoja de papel, mientras que las discontinuas por lo contrario presentan interrupciones, huecos o saltos, estas pueden se en puntos o en ciertos intervalos.

Por la relación entre Dominio y Rango se pueden clasificar en Inyectivas, Biyectivas y Sobreyectivas.

Ejemplos.-

-Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7.

Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.

Primera, f (7) = 5, de modo que f está definida en x = 7.

Segunda, por tanto, f tiene limite cuando X —> 7

Tercerapor tanto f es continua en 7

-Demostrar que g(x) = x2 — 3 es continua en — 4.

Solución: la función g está definida en x = — 4; g (—4) = 13. También:

Por tanto, g es continua en — 4.

-Sea f (x) = 1 / x. Observe que f no está definida en x = 0, pero está definida para cualquier otro valor de x cercana a 0. Así f es discontinua en 0. Además se dice que una función tiene discontinuidad infinita en ɑ, cuando al menos uno de los limites laterales es De aquí f tenga una discontinuidad infinita en x = 0.

-Aunque f está definida en x = 0, no existe.

Por lo tanto, f es discontinua en 0.

Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es continua en cualquier otra parte.

-Para la siguiente función, encontrar todos los puntos de discontinuidad

Solución: esta función racional tiene de denominador, que es 0 cuando x = -4 o x = 2. Así solo es discontinua en -4 y 2.

-La función f (x) = x² es continua en x = 3, en efecto:

f (3) = 3² = 9, es decir f (3) existe ya que 9 es un número real.

-La función f(x) = 1/(x - 1) es discontinua en x = 1, en efecto:

f(1) no existe como valor numérico ya que al sustituir 1 en la función, el denominador se anula, y la división entre cero no está definida.

- También son continuas las funciones del tipo x^n, si n existe en lo naturales.

- Son continuas las funciones del tipo raiz (cuadrada, cúbica...) de n, si n existe en los reales distintos de cero.

- Las funciones del tipo ax+b (rectas), son continuas, si x existe en los reales, a,b constantes en los reales.

- Son discotinuas las funciónes del tipo ax+b/cx+d (recta/recta, la más sencilla es 1/x), si x existe en los reales distintos de cero y a,b,c,d, son constantes.

- Funciones del tipo y=[x] (también llamda función "escalera", en donde la imagen de x es el valor entero de x), son discotinuas si x existe en los reales.

-Función Inyectiva.-

A cada elemento del dominio le corresponde un sólo elemento en el contradominio; es decir, que a argumentos distintos le corresponden imágenes distintas. A estas funciones también se les conoce como uno-uno.

-Función Sobreyectiva.-

En  este tipo de funciones el contradominio es imagen; es decir, todos los elementos delcontradominio están relacionados con un elemento del codominio. En ellas el rango y elcontradominio son iguales.

-Función Biyectiva.-

Este tipo de funciones son tanto uno a uno como sobreyectivas, también se les llama biunívocas.

Por la forma de su ecuación se pueden clasificarse en algebraicas: potenciales, polinomiales, racionales e irracionales; también se pueden clasificar en trascendentes: trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas.

Algebraicas.-

-Potenciales.-

Son la que tienen la forma:  f(x) = x^n.

Ejemplos:
1) f(x) = x⁴

2) f(x) = x

3) f(x) = 8

4) f(x) = x³

5) f(x) = 6^{6
6) f(x) = 16
7) f(t) = 27}
8) f(x) = x²
9) f(x) = x⁵
10) f(x) = 4x³
11) f(x) = 23x⁵
12) f(x) = 76
13) f(x) = ax³
14) f(x) = x⁸
15) f(x) = 2x³
16) f(x) = 34x⁶
17) f(x) = 7⁴
18) f(x) = 2x^-1
19) f(x) = x¹²
20) f(x) = x¹²

-Polinomiales.-

Son aquellas que tienen la forma: f(x)= a_nxⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + a₃x^n-3 + ………. + a₀

Algunos ejemplos serían:

f(x) = 3x⁵ − x² + 7x − 1

f(x) = x⁵ + 2x⁴ − 6x³ + 2x − 3

 y = - x^2 - 2x + 3 
f(x) = 1/2x⁶ + 12x⁵ − 3x⁴ + 2x − 56

f(x) = 4³ − 25x² + 6x − 24

f(x) = 4x⁵ + 22x⁴ − 62x³ + 25x − 333

f(x) = 4⁴ + 26³ − 4² + 23

f(x) = x³ + 23² + 21x − 78

f(x) = 25⁵ + 1/4x⁴ − 25x³ − 34

f(x) = 3⁵ +  3³ + 3

f(x) = 25x⁵ + 6/28x² + 2/5x

f(x) = 2x⁵ + 22x⁴ − 6

f(x) = 7/5x⁵ + 2/23x⁴ − 3

f(x) = x⁵ + 2(4)⁴ − 2(5)³ + (x) − 3

f(x) = 24x⁴ − 62x² + 2(3) − 23

f(x) = x⁵ + 23x⁴ − 6x³ + 5x − 6

f(x) = x⁵ + 2x⁴ − 6x³

f(x) = 2x⁴ − 6x³ + 23x² − 398

f(x) = x³ + 2x² − 6x + 2x − 3

f(x) = x^y + 2(2/5y)⁴ − 6(6y)³ + 2(y) − 3

-Racionales.-

Son aquellas que se expresan como el cociente de dos polinomios, son de la forma: f(x)=p(x)/q(x).

Ejemplos:

g (x) = (x ² + 1) / (x - 1)

h (x) = (2x + 1) / (x + 3)

f (x) = 2(x - 4) / 4 (x + 5)

g (x) = 1/2 (x) / 15 (2x)

h (x) = 4(x - 2) / 2 (x ² + 12)

f (x) = 6x / 4/5 x
g (x) = x / x ³ + 125
h (x) = (x ⁵ + 45) / x (3x)
f (x) = (25x ² + 1) / 6/18 (x ² + 65)
g (x) = 2 (x - 3) / (x ⁵ + 1)
h (x) = 18 (x - 12) / 1/8 (x ⁴ + 467)
f (x) = 5 (2/3x + 23) / (x ⁴ + 5)
g (x) = (6x ²) / (28x ³)
h (x) = (25x + 12) / (26x ² + 17)
f (x) = 543 (x ⁵ + 1) / (x ² + 678)
g (x) = 45 (24x + 5/3) / 3x (3/34)
h (x) = 56 (x ² + 1) / (4x ² + 1)
f (x) = 7x / x
g (x) = 4 (x - 3) / (x ⁵ + 134)
h (x) = 6 (x + 9) / 7/8 (x ⁴ + 489)

-Irracionales.-

Son aquellas cuyos exponentes son fracciones, son de la forma: f(x)=x^m/n =  ⁿ √x^m 

^Ejemplos:

f(x) =

f(x) = 

f(x) =

f(x) =

f(x) = 

f(x) = 

f(x) = 

f(x) = 

f(x) = 

f(x) = 

f(x) = 

f(x) = 

f(x) = 

f(x) = 

Trascendentes.-

-Trigonométricas.-

Son: seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

-Trigonométricas inversas.-

También conocidas como circulares inversas son: arco seno, arco coseno,etc.

Seno = cateto opuesto / hipotenusa
Coseno = cateto adyacente / hipotenusa
Tangente = cateto opuesto / cateto adyacente
Cotangente = cateto adyacente / cateto opuesto
Secante = hipotenusa / cateto adyacente
Cosecante = hipotenusa / cateto opuesto

Ejemplos:

-Exponenciales.-

Son de la forma: f(x)=A(b)^x
Ejemplos

f(-3) = 2^-³ = 1/2³ = 1/8

f(-1/2) = 2^-1/2 = 1/2^1/2 = 1/√2

f(1) = 2¹ = 2

2^{2.x + 5.y} = 22^{-.x + y} = 8

-Logarítmicas.-

Son aquellas que presentan la forma: f(x)=A log_b x

Ejemplos:

RELACIÓN.-

Es una correspondencia entre dos conjuntos de elementos. El primer conjunto de elementos se llama dominio y el segundo rango.

Se puede representar mediante una oración, la cual es una expresión verbal o escrita. Ejemplo: El cuadrado de una variable.

Se puede representar mediante un diagrama sagital, la cual es una representación de dos conjuntos de elementos empleando flechas. Ejemplo:

Se puede representar en parejas ordenadas que describen los puntos P(x,y). Ejemplo: (0,0) (1,1) (2,4) (3,9).

Se puede representar mediante una tabla que describe los elementos del dominio y rango de forma vertical u horizontal. Ejemplo:

DOMINIO.-

El dominio de una función es el primer conjunto de datos, sus elementos (argumentos) tienen su imagen en el contradominio.

CONTRADOMINIO.-

El contradominio de una función es el segundo conjunto de datos, contiene a las imagenes. Este también es conocido como codominio.

IMAGEN.-

La imagen es el elemento que le corresponde a un argumento de forma particular. También llamadorango.

REGLA DE CORRESPONDENCIA.-

Una correspondencia unívoca es una correspondencia matemática donde cada elemento del conjunto dominio se corresponde con solo un elemento del conjunto rango.

Una correspondencia biunívoca es simplemente una correspondencia unívoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del primer conjunto se corresponde con solo un elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer conjunto.