UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CEROS Y RAÍCES DE LA FUNCIÓN.-

Ceros reales.-

Son las raíces que hacen cero a un polinomio, y en una gráfica cortan al eje x.

Ceros complejos.-

Tienen una parte real y una parte imaginaria, son binomios conjugados y en una gráfica no cortan al eje x.

TEOREMAS DEL FACTOR Y DEL RESIDUO.-

Teoremas del factor.-

Si el residuo de la división de un polinomio es cero, entonces x - r es factor del polinomio, r su raíz y viceversa; f(r) = 0.

Ejemplos:

°Si f(x) = x² + x - 6, los factores son x -2 y x + 3 porque f(2) = (2)² + (2) - 6 = 0 y f(-3) = (-3)² + (-3) - 6 = 0.

°Si f(x) = 2x³ + 3x² - x -4, para x = 1, f(1) = 2 + 3 - 1 - 4 = 0, por lo tanto (x - 1) es un factor.

°Use el teorema del factor para probar que  es un factor de .

Solución

, así .

.

°(x³ − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

°(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

°(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

°(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

° Si f(x) = 12x² + (x) - 2, el factor es f(1), por tanto f(1) = 12 + (1) - 2 = 0.

Teorema del residuo.-

Si r es cualquier número real el residuo de la división del polinomio P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... +a_nx⁰entre x - r, es igual a P(r). Es decir, si un polinomio f(x), se divide por x - r, donde r es una constante, el residuo es igual al valor del polinomio cuando x = r.

El teorema del residuo es muy útil cuando se quieren encontrar los factores de un polinomio.

Ejemplos:

°Si dividimos f(x) = 2x³ + 3x² - x -4 por (x -4), entonces el residuo será: f(4) = 128 + 48 - 4 -4 = 168

°Hállese el residuo de dividir el polinomio  entre .

Solución.

 se puede escribir como , por tanto .

.

.

O sea que el residuo es 2. 

Si ƒ(x)correspondiente al polinomio 2x³ - 4x² - 3x + 2 para el valor de x = 3, se obtiene

ƒ(x) = 2x³ - 4x² - 3x + 2

ƒ(3) = 2(3)³ - 4(3)² - 3(3) + 2

ƒ(3) = 2(27) - 4(9) - 9 + 2

ƒ(3) = 54 - 36 - 9 + 2

ƒ(3) = 11

DIVISIÓN SINTÉTICA.-

Es el método de división de polinomios que usa los teoremas del residuo y del factor para conocer sus cocientes.

Ejemplos:

Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.-

Todo polinomio de grado _n tiene exactamente _n raíces, que pueden ser de tres tipos: simple, múltiples o complejas.

TEOREMA DE FACTORIZACIÓN LINEAL.-

Cualquier polinomio cuyo grado _n esté definido, tendrá exactamente _n factores lineales.

GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES.-

Los ceros reales representan los puntos de intersección de un polinomio con el eje x, a partir de ahí es posible establecer la curva de un polinomio. Un valor anterios al cero real más pequeño, sustituyéndola en la función nos permite conocer si la si la curva es creciente o decreciente, dependiendo si la pendiente de la curva es positiva o negativa, respectivamente.